EJERCICIOS NÚMEROS COMPLEJOS

MÁS VECTORES........

SISTEMA DE VECTORES:

        -Se pueden repetir

        -Cambiar el orden

        -Ejemplo:

SISTEMA LIBRE DE VECTORES:

        -Ejercicio: Expresa el vector nulo como combinación lineal de los vectores de cada uno de esos sistemas:

         -Es un sistema de vectores en el que el vector nulo se puede expresar como combinación lineal de dichos vectores. La única forma de hacerlo es con escalares nulos.

         -Proposición: Si un sistema es libre y le quito un vector, el nuevo sistema que obtengo es libre.¿Cómo son los sistemas libres de un solo vector?

Siempre son libres, salvo el vector nulo que es ligado.

SISTEMA LIBRE MAXIMAL:

         -Es un sistema libre en el que al añadir un nuevo vector deja de ser libre( es ligado)

SEGUIMOS CON LOS VECTORES.....

RECTA: DETERMINACIÓN LINEAL

DETERMINACIÓN DE UNA RECTA CON DOS PUNTOS DISTINTOS:

          -ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA:

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL PLANO:

          -PUEDEN SER:

VECTOR ORTOGONAL:

          -NOTACIÓN:

          -PROPOSICIÓN:

ENTREVISTA A LUIS MARÍA ABIA LLERA

1ª pregunta-----> Los matemáticos Frege, Gödel y Russell son también filosófos, ¿ cree por tanto que filosofía y matematicas son inseparables?


2ª pregunta------> ¿ Está de acuerdo con la afirmación de que la tesis de Church Turing tiene las mismas capacidades algorítmicas o un subconjunto de las que tiene una máquina de turing?


3ª pregunta-----> ¿ Qué opina del test CAPTCHA?


4ª pregunta-----> ¿ Le parecen interesantes este tipo de programas?


5ª pregunta-----> ¿ Cree que se le saca todo el provecho que se debiera a los matemáticos hoy en día?


6ª pregunta-----> ¿ Considera que los programas que se ofrecen en internet para agilizar la mente son recomendables?


7ª pregunta------> ¿ Por qué cree que las matemáticas están consideradas por bastante gente como  aburridas e incomprensibles?


8ª pregunta-----> ¿ Cree que nos hemos acostumbrado demasiado al uso de las calculadoras y los ordenadores y no pensamos por nosotros mismos?


9ª pregunta-----> ¿ Está ´todo´ inventado hablando matemáticamente?

GEOMETRÍA VECTORIAL

EJERCICIO:
     
        -Sean A, B, C tres puntos distintos dos a dos y no alineados. Busca un punto D tal que:

EJERCICIO:

        -Expresa el vector [AD] como combinación lineal de los vectores [AB] y [AC]:

EJERCICIO:

        -Expresa V como combinación lineal de U1.

               +No es posible porque las combinaciones son de tipo escalar y con la misma dirección.

EJERCICIO:

        -Expresa W como combinación lineal de U1.

EJERCICIO:

        -Expresa V como combinación lineal de U1 y U2. ( NO SON NULOS)

               +OBSERVACIÓN: Dos vectores no nulos con distinta dirección, se puede poner como combinación lineal de esos dos vectores y además de forma única.

EJERCICIO:

        -Expresa como combinación lineal de dichos vectores ( U1 y U2) (VECTOR NULO)

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

EJERCICIO:
 
      -Si tengo dos puntos del plano, son distintos, A y B, busca un punto C tal que:

OPERACIONES CON VECTORES

• SUMA:

             -DEFINICIÓN:

             -PROPIEDADES:

                    + Operación bien definida: el resultado es único

              + Conmutativa

              + Asociativa

              + Elemento neutro:

                    + Opuesto:

• RESTA:

              -Sumar el opuesto

              -DEFINICIÓN:

• PRODUCTO ESCALAR:

              -También se le llama número real

          -DEFINICIÓN:

              -MÓDULO:

VECTOR UNITARIO

 

              - Es un vector que tiene módulo 1

          - Dada una dirección, ¿cuántos vectores unitarios tengo? 2, uno por cada sentido.

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO

-3 TIPOS DE GEOMETRÍA DEL PLANO:

• CLÁSICA O EUCLÍDEA----------> Teorema de tales, Pitágoras....

• VECTORIAL----------> Se basa en los vectores.

• ANALÍTICA----------> Es la rama de la geometría en la que las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas utilizando sistemas de coordinadas.

-3 ELEMENTOS DE UN VECTOR:

• Dirección

• Sentido

• Módulo

-2 TIPOS DE VECTORES:

• VECTOR FIJO----------> Es un segmento orientado entre dos puntos llamados origen y extremo. Es una pareja ordenada de números en el plano. Si A = B, no tiene ni sentido ni dirección, es un vector nulo cuyo módulo es 0.

• VECTOR LIBRE----------> Es el conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí.

-RELACIÓN DE EQUIPOLENCIA:

   AB se dice equipolente a CD si:

• Conserva dirección

• Sentido

• Módulo                                                          

-PROPIEDADES:

• REFLEXIVA----------> Todo vector es equipolente a sí mismo.

• SIMÉTRICA----------> Si un vector es equipolente a otro, entonces este es equipolente del primero.

• TRANSITIVA----------> Si un vector fijo es equipolente a otro este lo es a un tercero, entonces el primero es equipolente al tercero.

-CLASE DE EQUIVALENCIA DE AB:

PROPOSICIÓN:

-POR TANTO:

EJERCICIOS DE NÚMEROS COMPLEJOS

EJERCICIOS VARIADOS DE NÚMEROS COMPLEJOS

FORMAS POLAR Y TRIGONOMETRÍA DE UN NÚMERO COMPLEJO


      -MÓDULO Y ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

             +El módulo del número complejo z = a + bi es la longitud de un segmento. Se representa por m = raíz cuadrada de a al cuadrado + b al cuadrado.


             +El argumento del complejo z = a + bi es el ángulo que forma el semieje positivo real con un segmento, medido en sentido contrario al de las agujas reloj. Se calcula: tangente de alfa = b entre a.



      -FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO

             +El complejo z = a + bi tiene un módulo m y un argumento alfa. Por tanto: z = a + bi = m alfa.

             +Esta última expresión es la forma polar o módulo argumental del número complejo.


   
      -FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

             + z = m (cos alfa + i sen alfa)

      -PASO DE UN COMPLEJO EXPRESADO EN UNA FORMA A OTRAS

 

           

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA + EJERCICIOS

SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS

• La suma o la diferencia de números complejos se efectúan sumando o restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí:

SUMA------> (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

RESTA-----> (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

PRODUCTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS

• El producto de números complejos se realiza como si fueran números reales, y teniendo en cuenta que i elevado al cuadrado es igual a 1.

PRODUCTO------>(a + bi) x (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

COCIENTE DE NÚMEROS COMPLEJOS

• La división de números complejos se efectúa multiplicando numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador.

DIVISIÓN----> a + bi/c + di = (a + bi) (c + di)/(c + di) (c - di) = (ac + bd) + (bc - ad)i/c^2 + d^2 = ac + bd/ c^2 + d^2 + bc - ad/ c^2 + d^2 i

POTENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS

• La potencia (a + bi)^n del número complejo a + bi y de exponente natural se realiza desarrollando la potenci del binomio (a + bi) y teniendo en cuenta los valores que toman las sucesivas potencias del número i.

• Los valores que toman las sucesivas potencias de la unidad imaginaria son:

----------------------

NÚMEROS COMPLEJOS

• Los números complejos son una ampliación del conjunto de los números reales y permiten, por ejemplo, hallar todas las soluciones de una ecuación de grado n, como demostró Gauss en el teorema fundamental del álgebra.

JOHN WALLIS

-Fue el primer matemático en utilizar el símbolo infinito y estudiar en profundidad esta ecuación:

ANALIZAMOS OTRA ECUACIÓN

DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO(GAUSS)

DEMOSTRACIÓN

REPRESENTACIÓN GRÁFICA