COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

EJERCICIO:
 
      -Si tengo dos puntos del plano, son distintos, A y B, busca un punto C tal que:

OPERACIONES CON VECTORES

• SUMA:

             -DEFINICIÓN:

             -PROPIEDADES:

                    + Operación bien definida: el resultado es único

              + Conmutativa

              + Asociativa

              + Elemento neutro:

                    + Opuesto:

• RESTA:

              -Sumar el opuesto

              -DEFINICIÓN:

• PRODUCTO ESCALAR:

              -También se le llama número real

          -DEFINICIÓN:

              -MÓDULO:

VECTOR UNITARIO

 

              - Es un vector que tiene módulo 1

          - Dada una dirección, ¿cuántos vectores unitarios tengo? 2, uno por cada sentido.

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO

-3 TIPOS DE GEOMETRÍA DEL PLANO:

• CLÁSICA O EUCLÍDEA----------> Teorema de tales, Pitágoras....

• VECTORIAL----------> Se basa en los vectores.

• ANALÍTICA----------> Es la rama de la geometría en la que las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas utilizando sistemas de coordinadas.

-3 ELEMENTOS DE UN VECTOR:

• Dirección

• Sentido

• Módulo

-2 TIPOS DE VECTORES:

• VECTOR FIJO----------> Es un segmento orientado entre dos puntos llamados origen y extremo. Es una pareja ordenada de números en el plano. Si A = B, no tiene ni sentido ni dirección, es un vector nulo cuyo módulo es 0.

• VECTOR LIBRE----------> Es el conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí.

-RELACIÓN DE EQUIPOLENCIA:

   AB se dice equipolente a CD si:

• Conserva dirección

• Sentido

• Módulo                                                          

-PROPIEDADES:

• REFLEXIVA----------> Todo vector es equipolente a sí mismo.

• SIMÉTRICA----------> Si un vector es equipolente a otro, entonces este es equipolente del primero.

• TRANSITIVA----------> Si un vector fijo es equipolente a otro este lo es a un tercero, entonces el primero es equipolente al tercero.

-CLASE DE EQUIVALENCIA DE AB:

PROPOSICIÓN:

-POR TANTO:

EJERCICIOS DE NÚMEROS COMPLEJOS

EJERCICIOS VARIADOS DE NÚMEROS COMPLEJOS

FORMAS POLAR Y TRIGONOMETRÍA DE UN NÚMERO COMPLEJO


      -MÓDULO Y ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

             +El módulo del número complejo z = a + bi es la longitud de un segmento. Se representa por m = raíz cuadrada de a al cuadrado + b al cuadrado.


             +El argumento del complejo z = a + bi es el ángulo que forma el semieje positivo real con un segmento, medido en sentido contrario al de las agujas reloj. Se calcula: tangente de alfa = b entre a.



      -FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO

             +El complejo z = a + bi tiene un módulo m y un argumento alfa. Por tanto: z = a + bi = m alfa.

             +Esta última expresión es la forma polar o módulo argumental del número complejo.


   
      -FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

             + z = m (cos alfa + i sen alfa)

      -PASO DE UN COMPLEJO EXPRESADO EN UNA FORMA A OTRAS

 

           

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA + EJERCICIOS

SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS

• La suma o la diferencia de números complejos se efectúan sumando o restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí:

SUMA------> (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

RESTA-----> (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

PRODUCTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS

• El producto de números complejos se realiza como si fueran números reales, y teniendo en cuenta que i elevado al cuadrado es igual a 1.

PRODUCTO------>(a + bi) x (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

COCIENTE DE NÚMEROS COMPLEJOS

• La división de números complejos se efectúa multiplicando numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador.

DIVISIÓN----> a + bi/c + di = (a + bi) (c + di)/(c + di) (c - di) = (ac + bd) + (bc - ad)i/c^2 + d^2 = ac + bd/ c^2 + d^2 + bc - ad/ c^2 + d^2 i

POTENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS

• La potencia (a + bi)^n del número complejo a + bi y de exponente natural se realiza desarrollando la potenci del binomio (a + bi) y teniendo en cuenta los valores que toman las sucesivas potencias del número i.

• Los valores que toman las sucesivas potencias de la unidad imaginaria son:

----------------------

NÚMEROS COMPLEJOS

• Los números complejos son una ampliación del conjunto de los números reales y permiten, por ejemplo, hallar todas las soluciones de una ecuación de grado n, como demostró Gauss en el teorema fundamental del álgebra.

JOHN WALLIS

-Fue el primer matemático en utilizar el símbolo infinito y estudiar en profundidad esta ecuación:

ANALIZAMOS OTRA ECUACIÓN

DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO(GAUSS)

DEMOSTRACIÓN

REPRESENTACIÓN GRÁFICA