OPERACIONES CON POLINOMIOS

SUMA DE POLINOMIOS

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3      Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

1Ordenamos los polinomios, si no lo están:

Q(x) = 2x ³− 3x² + 4x

P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x²+ 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado:

P(x) + Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

3Sumamos los monomios semejantes:

P(x) + Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

RESTA DE POLINOMIOS

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

1. Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales.

Ejemplo:

3 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo:

3x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) =
= 6x⁵− 9x⁴ + 12x³ − 6x²

3. Multiplicación de polinomios

Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distitnas.

Mira la demostración con el siguiente ejemplo:

P(x) = 2x² − 3       Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

OPCIÓN 1

1Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) = 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³+ 9x² − 12x=

2Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

3Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5

OPCIÓN 2

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

Procedemos igual que antes.

5x³ : x² = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x² : x² = 8

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el
 del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³ + 2x² + 5x + 8 es el cociente

Regla de Ruffini

Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableción un método más breve para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a.

Dividir por la regla de Ruffini:

(x⁵ − 32) : (x − 2)

TEOREMA DEL RESTO Y TEOREMA DEL FACTOR

TEOREMA DEL RESTO

    El resto de la división de un polinomio P(x), entre un         polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de       dicho polinomio para el valor: x = a.

TEOREMA DEL FACTOR

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x − a) si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).

LA DIVISIÓN

En clase hemos visto dos tipos de divisiones: la división entera y la división entera de un polinomio.

DIVISIÓN ENTERA:(PROPOSICIÓN)

DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS:(PROPOSICIÓN)

¿QUÉ ES UN ALGORITMO?

Es un método para resolver un problema mediante una serie de pasos definidos, precisos y finitos.

POLINOMIOS, ECUACIONES Y FUNCIONES

Antes de todo voy a decir lo que significa la X:

1. En los polinomios, X=Indeterminada
2. En las ecuaciones, X=Incógnita
3. En los sistemas, X=Variable

• Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = a_n xⁿ + a_{n − 1} x^{n − 1} + a_{n − 2} x^{n − 2}+ ... + a₁x¹ + a₀

1. a_n, a_n−1 ... a₁, a_o números, llamados coeficientes
2. n un número natural
3. x la variable o indeterminada
4. a_n es el coeficiente principal
5. a_o es el término independiente

GRADO DE UN POLINOMIO:

TIPO	EJEMPLO
PRIMER GRADO	P(x) = 3x + 2
SEGUNDO GRADO	P(x) = 2x2 + 3x + 2
TERCER GRADO	P(x) = x3 − 2x2 + 3x + 2

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO:

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x³ + 5x − 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 1³ + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

RAÍZ DE UN POLINOMIO p(x):

Son los números que su valor numérico es 0.

FUNCIÓN POLINÓMICA:

TEMA II: POLINOMIOS, ECUACIONES Y SISTEMAS

Ayer el profesor nos dijo que hiciéramos los siguientes ejercicios:

RACIONALIZAR

Se llama racionalización de denominadores al procedimiento por el cual hacemos desaparecer los radicales del denominador de una fracción.

Estas son las expresiones más frecuentes:

LAS TERNAS PITAGÓRICAS Y LA ECUACIÓN DIOFÁNTICA

1. Hacemos el cuadrado de la suma.
2. Hacemos el cuadrado de la resta.
3. Elevamos al cuadrado.
4. De ahí sacamos la ecuación diofántica. 
5. Y de la ecuación diofántica hallamos las ternas pitagóricas.

RADICALES II

Demostraciones de si todos los números racionales son radicales y de si todos los números irracionales son radicales:

EJERCICIOS DEL TEMA 1

Aquí os dejo algunos de los ejercicios del tema uno:

Calcula las siguientes raíces:

Pon las siguientes expresiones bajo un único radical:

Extrae todos los factores posibles de los radicales siguientes:

EL CARCELERO LOCO

ENUNCIADO:

• En una cárcel hay 100 celdas numeradas del 1 al 100.

• El carcelero primero recorre todas las celdas y las va abriendo una por una.

• Una vez hecho esto, empieza de nuevo y cierra todas las pares.

• Luego, vuelve hasta la celda 3 y sigue saltando de tres en tres y las que encuentra abiertas, las cierra y las que encuentra cerradas, las abre. En definitiva, cambia el estado de cada celda.

• Una nueva vuelta empezando ahora por la celda 4 y va saltando de 4 en 4 cambiando de estado las celdas, es decir, abre las celdas que son múltiplos de 4 que están cerradas, y cierra las que están abiertas.

• En la siguiente vuelta empieza en la celda 5, saltando ahora de cinco en cinco.

• El carcelero continúa con este proceso hasta llegar a la número 100, cuando debería empezar a dar saltos de 100 en 100.

• ¿Qué puertas quedarán abiertas cuando finalice el proceso?

SOLUCIÓN:

Múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30....

Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42....

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52....

   Número de divisores par=> cerrada

   Número de divisores impar=> abierta

   Números primos=> 2 pasadas

Los únicos números con número impar de divisores son los cuadrados.

                    1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100=> abiertas

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

El conjunto de los números racionales junto con los irracionales forma el conjunto de los números reales.

• El conjunto de los números reales se representa por IR, y está formado por los números racionales y los irracionales.

• Los números racionales se representan con la letra Q.

• Los números irracionales se representan por la letra I.

Ahora os voy a enseñar la relación que hay entre los distintos conjuntos numéricos:

TEORÍA DE CONJUNTOS

Unión de dos conjuntos:
 A È B  es el conjunto formado por todos los elementos de A y de B.

Intersección de dos conjuntos:
A Ç B  es el conjunto formado por los elementos comunes de A y de B.

                                                                                                                                                                                               

Radicales

En este clase hemos averiguado cuales de todas estas opciones eran números radicales y hemos obtenido lo siguiente:

Primeros días de clase

Hemos aprendido lo que es una proposición matemática y a leer el lenguaje matemático.

Hay varios tipos de proposiciones:

• Proposición directa:

               p=>q

• Proposición recíproca:

               q=>p

• Proposición contraria:

                no p=>no q

• Proposición contrarrecíproca:

                no q=>no p

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En este blog os cuentaré todo lo relacionado con las matemáticas de primero de bachillerato del colegio I.E.S. Pinar De La Rubia.
Estaré activa todo el año.