EXAMEN PARA CASA II

 EJERCICIO 1:

EJERCICIO 2:

EJERCICIO 3:

SUCESIONES, LÍMITES

SUCESIÓN:

• Es una secuencia de números reales, ordenados uno detrás de otro. Cada uno de estos números se denomina término.

• Se le llama término general a:

• FORMAS DE EXPRESAR UNA SUCESIÓN:

        -Descripción de sus términos: Cuando conocemos una propiedad que caracteriza a cada uno de los términos.

        -Expresión del término general: Cuando conocemos la fórmula de un término cualquiera o término general.

        -Ley de recurrencia: Cuando conocemos la relación entre cualquier término y los anteriores.


SUCESIONES ACOTADAS:

• SUCESIONES ACOTADAS SUPERIORMENTE: Si todos los términos de la sucesión son menores o iguales a K. Ej: intervalo 3 infinito.

• SUCESIONES ACOTADAS INFERIORMENTE: Si todos los términos de la sucesión son mayores o iguales que K. Ej: intervalo menos infinito 3.

• SUCESIONES ACOTADAS: Si lo está superior e inferiormente.

• SUPREMO: Menor de las cotas superiores.

• ÍNFIMO: Mayor de las cotas inferiores.

• EJEMPLO:

EXAMEN PARA CASA

1)

2)        

3) Halla el módulo y el argumento del inverso de un número complejo z distinto de 0.

4)

5)

6)

ELIPSE

• La elipse es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F´, llamados focos, es una cantidad constante:

• Como el triángulo de la figura OFB es rectángulo, se verifica:

               -Que es la expresión de la relación entre los elementos principales de la elipse.

ELEMENTOS DE LA ELIPSE:

• FOCOS: Son los puntos F y F´.

• EJES DE SIMETRÍA: Son las rectas r y s, respecto de las cuales la elipse es simétrica.

• CENTRO: Punto O donde se acortan los ejes de simetría.

• VÉRTICES: Son los puntos A, A´, B y B´ en los que la elipse corta a los ejes de simetría.

• EJE MAYOR: Es el segmento AA´ de longitud 2a.

• EJE MENOR: Es el segmento BB´ de longitud 2b.

• DISTANCIA FOCAL: Es el segmento FF´ de longitud 2c.

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE DE EJE MAYOR EN EL EJE DE ABCISAS:

EXCENTRICIDAD:

• Es el achatamiento de la elipse que se mide por medio de un número que varía desde 0 hasta 1. Su valor es:

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE DE EJE MAYOR EN EL EJE DE COORDENADAS:

• Esta elipse tiene por focos los puntos F(0, c) y F´(0, -c). Tomamos un punto cualquiera de ella, P(x, y), y aplicamos la definición:

• Con un proceso similar al anterior, obtenemos la ecuación reducida de la elipse de eje mayor en el eje OY:

RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA ELIPSE EN UN PUNTO:

• Ecuación de la recta tangente:

• Ecuación de la recta normal:

LA CIRCUNFERENCIA

• Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano que están a igual distancia de un punto interior C(a, b) llamado centro. A esta distancia constante la llamamos radio, r.

d(P, C) = r

• Usando la expresión de la distancia entre puntos, tenemos:

• Elevando ambos miembros al cuadrado, obtenemos la ecuación general de la circunferencia:

• Si desarrollamos esta expresión obtenemos:

• Y ahora, llamando:

• Obtenemos otra forma de la ecuación de la circunferencia, que es la forma más sual en la que esta aparece:

• Si se presenta la circunferencia de esta forma, las coordenadas del centro y del radio son:

RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO:

• Ecuación de la recta tangente:

• Ecuación de la recta normal:

LUGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A UNA CIRCUNFERENCIA:

• La potencia del punto P respecto de la circunferencia C se define como el producto de las distancias de P con los puntos de corte de la recta r con la circunferencia C.

• La potencia de un punto P(x0, y0) respecto de una circunferencia C de ecuación:

• Viene dada por:

• El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ambas circunferencias. Es una recta cuya ecuación se obtiene al igualar las ecuaciones de ambas circunferencias.

• Genéricamente, dadas dos circunferencias de ecuaciones:

• Los puntos P(x, y) que tienen la misma potencia respecto de ambas circunferenicas, cumplen:

• Operando, obtenemos la condición analítica que deben cumplir estos puntos:

• Y como vemos, se trata de la ecuación de una recta.

LUGARES GEOMÉTRICOS

• Se llama lugar geométrico a la figura que forman un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO:

• Para el segmento de extremos A y B, el lugar geométrico de los puntos que equidistan (están a igual distancia) de los puntos A y B es una recta perpenndicular al segmento AB en su punto medio. Esta recta es la mediatriz.

• Los puntos, P, del lugar geométrico cumplen la condición:

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO:

• Para dos rectas r y s, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ellas lo forman dos rectas perpendiculares entre sí que son las bisectrices de los ángulos que forman las rectas dadas.

• Los puntos, P, del lugar geométrico cumplen la condición: