SISTEMAS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

• SISTEMAS QUE SE PUEDEN RESOLVER POR REDUCCIÓN.

• SISTEMAS REDUCIBLES A ECUACIONES ALGEBRAICAS.

• SISTEMAS REDUCIBLES MEDIANTE RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS.

EXAMEN PARA CASA

• EJERCICIO 1

Definición de incentro de un triángulo. Calcula, paso a paso, ultilizando WIRIS, el área de la región plana comprendida entre la circunferencia inscrita y la circunferencia circunscrita al triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 3 unidades y el ángulo comprendido entre dichos lados mide 0,5 radianes. ¿Dicha región es una corona circular? Razona tu respuesta. Dibuja dicha región utilizando GEOGEBRA Y PAINT. Guarda en tu carpeta de trabajo los correspondientes archivos.



               +INCENTRO: punto de corte entre las tres bisectrices----> rectas que dividen a cada ángulo, de los ángulos del triángulo, en dos ángulos iguales. Centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

 

               +PROBLEMA:


1º Calculamos el radio de la circunferencia circunscrita R sabiendo que la relación con el teorema del coseno es de 2R.

2º Calculamos el radio de la circunferencia inscrita r, uniendo el centro de la circunferencia inscrita,D, con el vértice C.

3º Solución

• EJERCICIO 2

Se quiere reconstruir la ubicación y las dimensiones de un claustro de forma cuadrada desaparecido y del que se ha encontrado su pozo. Se tienen dudas de la ubicación del pozo en relación con el claustro pero se sabe que dicho pozo distaba 30, 40 y 50 m de las esquinas del claustro. Utiliza WIRIS para realizar los cálculos paso a paso y dibuja la solución en geogebra. Guarda en tu carpeta de trabajo los correspondientes archivos.

• EJERCICIO 3

a) Elabora una construcción dinámica con GEOGEBRA que permita ver dicha evolución.

b) Demuestra, utilizando el teorema de Tales, que el triángulo MPR es isósceles.

c) Como el segmento AB se desliza por la semicircunferencia, el triángulo MPR varía, demuestra que cualquiera de esos triángulos MPR son semejantes.

                 -Son semejantes porque si aumento la altura, la base disminuye y si la base aumenta, la altura disminuye.

• EJERCICIO 4

Resuelve  el triángulo DEN sabiendo que ABCDE es un pentágono regular, M es el punto medio del radio, en el eje OX, de la circunferencia circunscrita a dicho pentágono y que tomamos como unidad de medida, N es un punto en el eje OX tal que DM=NM. Utiliza WIRIS para realizar los cálculos paso a paso y dibuja la figura con la solución utilizando GEOGEBRA. Guarda en tu carpeta de trabajo los correspondientes archivos.

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

• ECUACIONES DEL TIPO UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA IGUALADA A UNA CONSTANTE:

• ECUACIONES QUE HAY QUE FACTORIZAR:

• ECUACIONES EN LAS QUE HAY QUE EXPRESAR TODAS LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN FUNCIÓN DE UNA SOLA:

TRANSFORMACIONES DE SUMAS DE DOS RAZONES EN PRODUCTOS

• TRANSFORMACIÓN DE LA SUMA DE SENOS EN PRODUCTOS:

• TRANSFORMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE SENOS EN PRODUCTOS:

• TRANSFORMACIÓN DE LA SUMA DE DOS COSENOS EN PRODUCTOS:

• TRANSFORMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS COSENOS EN PRODUCTO:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD

• OBTENEMOS LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD A/2, A PARTIR DEL COSENO DEL ÁNGULO DOBLE.

                -SENO:

                -COSENO:

                -TANGENTE:

• EJEMPLO:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE

• OBTENEMOS FÁCILMENTE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE, 2A, A PARTIR DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS.

                -SENO:

                -COSENO:

                -TANGENTE:

• EJEMPLOS:

TEOREMAS DE ADICIÓN

• RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS.

                -SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS/ SENO DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS.

                -COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS/COSENO DE LA DIFERENCIA DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS.

                -TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS/ TANGENTE DE LA DIFERENCIA DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS.

PROBLEMAS TRIGONOMETRÍA III

16) Resolver los siguientes triángulos rectángulos:

       a)  a=10 cm            b=6 cm

       b)  b=2 cm             c=2 cm

       c)  a=4´1 cm          B=38º

 

       d)  b=9 cm            C=25º

       

       e)  b=5 cm            c=12 cm

       f)  a= 3´6 cm        C=30º

       g)  b=2´5 cm        B=76º

17) Calcular el área de un triángulo del que se conoce A=37º, b=15 cm, c=8 cm.

18) Las diagonales de un rombo miden 10 y 16 cm. Calcular los lados y los ángulos del rombo.

19) Calcular los ángulos de un triángulo isósceles sabiendo que los lados iguales miden 13 cm y el lado desigual mide 8 cm.

20) Calcular el área de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 2 cm de lado.

21) Calcular el radio de la circunferencia inscrita y circunscrita a un pentágono regular de 6 cm de lado.

22) Hallar el ángulo que forman la diagonal de un cubo con la diagonal de una de sus caras.

23) Una escalera de 12 metros de longitud está apoyada en una pared, en la que alcanza una altura de 9 metros. Calcular el ángulo que forma la escalera con el suelo.

24) Para calcular la altura de un árbol una persona situada a 8 metros de su pie ve su punto más alto con un ángulo de 38º. ¿Cuál es la altura del árbol?

25) Una antena está sujeta a cada lado por un cable. Cada cable forma con la antena un ángulo de 36º y 46º respectivamente y se fijan e el suelo en dos puntos que distan 90 metros. Calcular la altura de la antena.

26) Se desea calcular la altura de una estatua situada en lo alto de un pedestal. Un observador situado a 40 metros de su pie ve el punto inferior de la estatua con un ángulo de 32º y el punto superior con un ángulo de 35º. ¿Cuál es la altura del pedestal? ¿Cuál es la altura de la estatua?