SOPHIE GERMAIN

Nuestro profesor nos propuso que hicieramos esta factorización:

La realizaremos a partir de la Identidad de SOPHIE GERMAIN:

Marie-Sophie Germain nació el día 1 de Abril de 1776 y murió el 27 de Junio de 1831 en París a consecuencia de un cáncer de pecho a los 55 años.

En 1808 comunicó a Gauss su más brillante descubrimiento en Teoría de Números. Demostraba que si x, y, z son números enteros, tales que x⁵+y⁵+z⁵=0 entonces, al menos uno de los números x, y o z debe ser divisible por 5. Más tarde generalizó este resultado en el teorema que hoy lleva su nombre.

El Teorema de Germain constituyó un paso importante para demostrar el último teorema de Fermat. De hecho a partir de entonces la demostración se dividió en dos casos: el primero consistía en probarlo cuando ninguno de los números x, y, z es divisible por n, y el segundo cuando uno sólo de los tres números es divisible por n. Además con esta clasificación el primer caso del Teorema de Fermat para n =5 quedaba probado. En 1825 Legendre y Dirichlet completaron la demostración para n = 5 en el segundo caso.

El teorema de Sophie Germain demuestra que si n es un número primo tal que 2n +1 es primo, entonces el primer caso del teorema de Fermat es verdadero. El trabajo se había simplificado a la mitad. El teorema de Germain será el resultado más importante relacionado con la conjetura de Fermat desde 1738 hasta la obra de Ernst Eduard Kummer (1810-1893) en 1840. En Teoría de Números se dice que un número natural es un número primo de Germain, si el número n es primo y 2n+1 también lo es. Los números primos de Sophie Germain inferiores a 200, son: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191.

Posteriormente, hacia 1819, Sophie retomó sus trabajos en Teoría de Números. De esta época es otro de los resultados de Sophie. Utilizando adecuadamente su teorema conseguía demostrar que para todo número primo n menor que 100 (y por lo tanto para todo número menor que 100) no existe solución a la ecuación de Fermat, cuando los números x, y, z no son divisibles por n. Legendre seguirá su demostración para números primos n menores que 197.

Las investigaciones de Sophie, en Teoría de Números, sólo serán conocidas porque Legendre las menciona en un artículo de 1823 que apareció en las “Memoires de l'Academy des Sciences” en 1827, y en su “Théorie des Nombres” que se publicó en 1830. Una de las versiones más completas de su trabajo sobre la conjetura de Fermat es un manuscrito titulado “Observaciones sobre la imposibilidad de satisfacer la ecuación: xⁿ + yⁿ = zⁿ”, que se conserva en la Biblioteca Moreniana de Florencia.